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长方形纸片：一次帮助学生探究抛物线及方程的活动课
许关荣
（绍兴市职教中心，　　浙江　　　绍兴，　　　　 312000）

　　数学与日常生活是息息相关的。传统数学教学存在的缺陷在于它常常使学生流离于自然与社会之外，机械地回答教科书上的问题，更有甚者，解大量的数学习题并追求唯一正确的答案，使数学学习变得繁杂又枯燥乏味。
探究性学习即“学生在学科领域或现实生活的情景中，通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。”它有利于克服当前数学教学中注重教师传授而忽视学生发展的弊端，有利于调动学生探究的热情，激发学生的求知欲和进取精神，更重要的是有利于培养学生的创新精神和实践能力。探究性学习可以在课堂内进行，也可以在课堂外进行。
下面的各个活动要求学生自己对设置好的问题逐一进行回答，从而一步步去探究抛物线的曲线特征和抛物线方程，以及它们间的联系和作用。这些非常有吸引力的学习过程，让学生回到了自然与社会中来，让他们自己提出感兴趣的问题，自己试图（在教师的帮助下）解决问题或者提出解决问题的几种方案供选择，让他们深深感觉到数学就在生活中。同时，通过活动，组织学生个体、小组或群体对问题展开讨论辩析，并在这一探究过程中，启迪思维，培养能力和科学精神，善于与人协作，互相成果，真正做自己学习的主人。这几组问题需要2至3课时，这要依所要探索的数学思想的多少而定。
在教学过程中，教师到底应该扮演怎样的一个角色？我们认为他既是教学的组织者，也是研究的开发者。为了使课堂教学行为趋于多重整合，学生的研究热情得到充分发挥，我们把学生以三人至四人为一活动小组，进行实际操作，并对出现的问题进行研究，寻找其中的规律，展示他们的发现，得出轨迹的特征、定义的形成和方程的求得。教师对出现的问题和学生们的讨论要给予引导与帮助，如果学生在实际操作、发现规律、求解方程中出现了问题，教师只进行点拨，一般不直接参与，不提供结果，也不告诉结果是否正确。
为了使得实际操作和对问题的数学讨论卓有成效，课堂教学氛围民主、和谐、活跃、开放，学生的思维始终处于活跃状态，教师应该问下面这样的一些问题：你们小组在操作过程中碰到了什么问题，发现了什么规律？除了这种方法外，还有其他方法吗？你是如何发现这个规律，并由此得出定义？通过定义如何来求出轨迹方程？得出的结论是否正确？有没有限制的条件？学生们是能够提出好的数学论据的，如果你期望他们能做出的话，下面例子给出的就是针对这些问题，学生们发现的规律，提出的结论和提供的数学论据。
活动1：折纸问题一
折纸问题一（参见作业纸1）　　让学生准备一张带有条格的长方形纸片（条格要伸到纸片的两边，且不能太稀疏）（图一），学生按下面的要求将纸片进行折叠：折叠时，让分别与，，，，…，重合，然后用笔分别描出每条折线与对应折点上的格线的交点。然后，要求学生总结他们的发现。这一活动对绝大多数的学生来说并不难，一些学生在做了实验后得到了下面的结论：
1、当时，交点如图二中有规律的离散型分布，并且当与重合时，折线与、平行，交点为的中点，当=时，折线与对应格线的交点在边上。
2、当＜时，折线与对应格线不再相交于长方形纸片上，不难猜想，应该在对应格线的延长线上。
3、当在边上进行连续折叠，便得到一段连续的曲线。
4、经过观察，其曲线形状与初中数学中所认识的曲线——抛物线相同。
另一些学生进行了更深一步的探究，把上述实验抽象为一个数学问题，建立了数学模型：在长方形纸片，长为，宽为（＞），按图三所示的方法进行折叠，且折叠后始终在上，此时把记为（为折痕），过作⊥交于，研究点的轨迹。
在实验和分析建模的过程中，学生对这个问题会逐渐地清晰起来，由于△是由△对折而得到，所以这两个三角形对于折痕对称，这样进一步得到是的垂直平分线，连结，则有=，由此得出点的特征，学生自己可以得到抛物线定义，以此便可知道点的轨迹是以点为焦点，为准线的一段抛物线。
活动2：折纸问题二
折纸问题二（参见作业纸2）　　让学生再准备一张同样大小的长方形纸片，并在纸片2厘米处设置一点，如图四所示方法，按下面的要求将纸片进行折叠：折叠时，让所在的边始终经过点，将纸折20到30次，形成一系列折痕，它们整体地估画出一条曲线的轮廓。学生通过观察、猜想，很容易发现，众多折痕围出一条抛物线，其形状与初中所认识的二次函数的图象——抛物线很接近。有部分学生进一步研究发现,画三条平行于轴的直线,其反射线经过轴上的一个定点。把上述实验抽象为一个数学问题，建立了数学模型：在长方形纸片，长为，宽为（＞），按图4所示的方法进行折叠，即折叠时，所在的边（）必须经过定点，此时把记为（为折痕），过作∥交于（图五），研究点的轨迹。
同以上的情况相类似，在实验和分析建模的过程中，学生对这个问题会逐渐地清晰起来，由图五所示，由于△是由△对折而得到，所以这两个三角形对于折痕对称，只要过点作⊥，由于∥，所以，⊥，于是不难得出：=，由此得出点的特征，学生自己可以得到抛物线定义，以此便可知道点的轨迹是以点为焦点，为准线的一段抛物线。
活动3：方程问题
弗赖登塔尔认为：数学教育是一个活动过程，在整个过程中，学生应该处于一个积极创造的状态。学生首先要参与这个活动，感觉到创造的需要，他才可能进行再创造，教师的任务就是为学生的发展，创造提供自由广阔的天空，就在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法，培养学生的创造力。学生把以上的折纸活动一进行分析以后，可引导学生来独立或以小组形式完成求抛物线方程的过程。
大部分学生能够根据自己建立的直角坐标系（如图三），写出点的轨迹方程——抛物线方程，即建立直角坐标系，使所在的边为轴，以的中点为直角坐标系的原点。则焦点的坐标为（0，-），所在的直线为准线的方程为。设点（，）是抛物线任意一点，点到准线的距离为，由抛物线定义，抛物线就是集合=｛│∣∣=｝。
∵∣∣=，=∣∣，∴=∣∣，
将上述两边平方并化简，得点的轨迹方程是（＞0）。
针对这种情况，教师可提出下面的问题交给学生来讨论。
问题一：你认为这个问题中点的轨迹方程是（＞0）正确吗？
学生经过讨论，一般认为点有一个取值范围。出现了两种观点：一是[]，二是[]。这时，教师可分别选一名学生对他们持有的观点进行解释。最后教师点评：在问题中，让学生求的是与的交点，从前面的操作实验中，我们不难发现当＞时，折痕和相应折点上的格线不再相交，而是与它们的延长线交于一点，所以，[]是正确的。
问题二：对于折纸活动二，能否同样可以求出抛物线方程？
大部分学生都能根据以上相同的方法，来求出抛物线方程。（略）
问题三：图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水下降1米后，水面宽多少？　　　　　　　　　　　　　　　
针对这个日常生活中容易碰到的实际问题，很多学生都能根据自己所理解和掌握的抛物线的定义与方程来解决这个问题，首先，建立坐标系，设拱桥抛物线的方程为。因为拱顶离水面2米，水宽4米，所以，，，抛物线的方程为。水面下降1米，则，代入抛物线方程为，得。这时水面宽米。
多媒体演示
实践表明，多媒体及其计算机教学软件是一种全新的教学工具，对于改善教学方法，理解数学知识的形成过程,探索教学规律，提高学习的效率，增强学习效果有着不可忽视的作用。
我们把折纸问题一的实际操作问题转化为：求以为焦点，以为准线的抛物线方程。由于及所在的直线始终是的垂直平分线，因此，不难得到在不建立直角坐标系的前提下，焦点为和准线为的抛物线的画法。可以借助电脑,利用“几何画板”软件向学生演示，根据上面操作的原理、画法作出点、直线、直线上一点，按法则构造出点，拖动点在直线上移动，即可构造出点的轨迹为抛物线。如图演示。
对于折纸问题二，根据以上的操作原理，借助电脑,利用“几何画板”软件向学生动态演示点的轨迹——抛物线。（略）
评估与结论
知识是不能现成地传递的，而要回到它的经验状态，通过学生的亲身体验实现转化。今天的教育，既是过去积累的传播，同时又要考虑未来的需求，那就是学生的创新意识和实践能力的培养和发展。因此，教师应该为学生提供一次良好的机会来反思他们在活动中的所作所为，以及他们对数学概念、定义、方程和公式等的理解程度，而评估工作就是行之有效地来充分理解知识形成的发生、发现、发展的过程。作为这一评估工作的一项任务，学生们要选择一项活动，就这一活动完成一份“问题报告” ，“问题报告”给学生的这个机会是要他们写出他们在实验操作过程中的步骤，以及解决的方法、规律的发现、定义的形成以及方程的求解等，写出知识形成的发生过程、解决的问题、同学间互相交流等方面所做的事情和获得的感受。在这个详细的报告中，学生需：（1）以一种其他没有进行过这项活动的人看后也能够明白的方式把这一活动描述清楚；（2）讨论在活动中，知识的形成过程，发现的规律性现象；（3）讨论问题的解决策略；（4）给出结果，即抛物线的定义、方程；（5）在日常生产、生活中的具体应用。
课堂内外的教学应尽可能地还原知识形成的本来面目，在提升问题探索价值方面，多下功夫，因此，教师应该组织学生完成一次数学小测试，测试一下学生在动手操作的实验步骤，规律的发现及抛物线的定义、方程的求法，运用抛物线的相关知识解决问题等方面的内容，在小测试中，学生们要（1）写出操作步骤；（2）分析两个折纸活动中所得交点的相同处与不同处；（3）建立直角坐标系，求抛物线方程；（4）解决实际问题。
通过折纸活动，使原本单调、枯燥的数学课生动起来，充满了乐趣。抛物线定义的给出，不是教师也不是教材直接地、生硬地“抛”出，而是教师引导学生，通过实验操作，自己或通过小组讨论来发现一系列点、线的规律和特征，从而非常自然地概括出抛物线的定义，以及相关的抛物线性质。所以，学生都能很快的理解和掌握抛物线的定义和性质，并能解决一些比较简单的日常生活中相关的问题。另外，基于活动的教学方法带给学生的是对抛物线定义和性质的较为深刻的理解，并且使学生们通过问题的解决、推导和交流等方式体验了什么是数学，同时也让学生感受数学在生活及社会各个领域中的广泛应用。